中学生のころに学ぶ因数分解とは \begin{align} (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab \end{align} のように式を積の形で表す操作である。上の例ではが因数に当たる。このような式の段階では分かりづらいが、方程式が出現してからはその有用さは明らかである。 次のよう…

二次遅れ系の伝達関数 \begin{align} G(s)=\dfrac{K}{Ts+1} \end{align} を例に、ゲイン線図と位相線図からなるボード線図を作図する。 はじめにとしてフーリエ変換すると \begin{align} G(j \omega)&=\dfrac{K}{1 + j \omega T } \end{align} また、このシ…

ばねマスダンパ系の状態方程式を導出する。 まず、ばねマスダンパ系の運動方程式は \begin{align} M \ddot{x}(t) + C \dot{x}(t) + k x(t) = f(t) \end{align} ここでは質量、は減衰係数、はばね定数、は変位である。 はじめに \begin{align} x_{1}(t) = x(t…

フィードバック制御系において目標値が変化したり外乱が加わると制御量が変化する。制御量は出力とも呼ばれ、制御量と目標値の差は（制御）偏差と呼ばれる。 適切に設計されたフィードバック制御系であれば徐々に偏差は減少するが、定常状態となった後にも残…

pandasを使ったcsvファイルの操作が思いのほか使いやすかったので残しておく。 pandasがインストールされている環境で import pandas as pd df = pd.read_csv('FILEPASS/FILENAME.csv',encoding = 'cp932',usecols=[2]) print(df) とすればcsvファイルの2列…

前回二次遅れ系の伝達関数 \begin{align} G(s)=\dfrac{\omega_{n}^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_{n} s+ \omega_{n}^2} \end{align} についての行過ぎ量を求める式 \begin{align} f(t) = 1 - (-1)^n e^{ -\zeta \dfrac{n \pi }{\sqrt{1-\zeta^2}} } \hspace{5mm} …

次のような二次遅れ系の伝達関数 \begin{align} G(s)=\dfrac{\omega_{n}^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_{n} s+ \omega_{n}^2} \end{align} について、不足振動となるの行き過ぎ量を考える。 この場合の応答は \begin{align} y(t)=1-\dfrac{e^{- \zeta \omega_{n} …

軸周りの回転を表す回転行列 \begin{align} \textbf{C}_{x}(\boldsymbol{η}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos \phi & \sin \phi \\ 0 & -\sin \phi & \cos \phi \end{pmatrix} \end{align}の固有値は \begin{align} \begin{vmatrix} t-1 & 0 & 0\\ 0…

直列回路の共振周波数を求める。直列回路のインピーダンスは \begin{align} Z=R+j \left ( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right ) \end{align} 共振の条件は= 0]より \begin{align} \omega L - \frac{1}{\omega C} & = 0\\ \omega^2 L C &= 1 \end{align} …

時間関数について、の値をラプラス変換により得られた結果より直接求める場合最終値の定理を用いると便利である。 \begin{align} \int_{0}^{\infty} \dfrac{dx(t)}{dt} e^{-st} dt = sX(s) - x(0) \end{align} 左辺について次のような極限 \begin{align} \li…

時間関数について、の値をラプラス変換により得られた結果より直接求める場合初期値の定理を用いると便利である。 \begin{align} \int_{0}^{\infty} \dfrac{dx(t)}{dt} e^{-st} dt = sX(s) - x(0) \end{align} 両辺の極限をとって \begin{align} \lim_{s \to…

空間に置かれた剛体の回転について考える。今、剛体の姿勢をを用いて \begin{align} \boldsymbol{η} = \begin{pmatrix} \phi \\ \theta \\ \psi \end{pmatrix} \end{align}と定義する。ここではRoll、Pitch、Yawそれぞれの角度を示している。剛体の回転は独…

はてなブログで数式を書く際、などについてはTeXのコマンドを使うことができないので\it{μ}などと記述する。しかしこの方法は \begin{align} \it{μ}^2 \end{align} となり、不具合が生じる。これはitコマンドが1993年にリリースされた LaTeX2e の New Font S…

伝達関数 \begin{align} G(s)=\dfrac{K_{p} (s - \it {σ}_{1})(s - \it {σ}_{2}) \cdots (s - \it {σ}_{m})}{(s - \lambda_{1})(s - \lambda_{2}) \cdots (s - \lambda_{m})} \end{align} について、実部と虚部をとすると \begin{align} G(s)=M+jN \end{alig…

制御工学ではインパルス応答など呼び方は異なるが、デルタ関数を用いる機会が多い。デルタ関数とは \begin{align} \delta(s)=\begin{cases} \infty \hspace{3mm} &(x=0)\\ 0 &(x \neq 0) \end{cases} \end{align} で定義される超関数である。 ガウス分布は正…

次のような二次遅れ系の伝達関数 \begin{align} G(s)=\dfrac{\omega_{n}^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_{n} s+ \omega_{n}^2} \end{align} について、インパルス応答を調べる。 インパルス応答を入力したときの出力[tex;Y(s)]は \begin{align} Y(s)=\dfrac{\omega…

線形性とは、 \begin{align} f(x_{1}+x_{2}) &= f(x_{1})+f(x_{2})\\ f(ax_{1})&=af(x_{1}) \end{align} のような性質を満たす関数のことである。 ラプラス変換についてもこの線形性は成り立つ。 まず \begin{align} \mathcal{L} [ax_{1}(t) + bx_{2}(t)] \e…

ガンマ関数を次のように定義する。 \begin{align} \Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt \hspace{5mm} (ただし\Re(z) >0) \end{align}z=1の時 \begin{align} \Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-t}dt = 1 \end{align}z=2の時 \be…

次のような二次遅れ系 \begin{align} G(s)=\dfrac{R(s)}{C(s)}=\dfrac{\omega_{n}^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_{n} s+ \omega_{n}^2} \end{align} の共振角周波数と共振値を求める。 この系の伝達関数の周波数伝達関数は \begin{align} G(j \omega)=\dfrac{1}{1…

いま，伝達関数にステップ入力を加えたときの出力は \begin{align} Y(s) =\frac{N(s)}{D(s)} = \frac{K_{p} (s - \it{σ}_{1})(s - \it{σ}_{2}) \cdots (s - \it{σ}_{m})}{(s - \lambda_{1})(s - \lambda_{2}) \cdots (s - \lambda_{m})} \cdot \frac{1}{s} \…

ばねマスダンパ系の微分方程式 \begin{align} u(t)=my''(t) + cy'(t) + ky(t) \end{align} を考える。は加速度、は速度、は変位、は質量、は減衰係数、はバネ定数である。 ラプラス変換すれば \begin{align} U(s)&=ms^{2} Y(t) + csY(s) + kY(s)\\ &=\left (…

三角関数をラプラス変換する際には、オイラーの公式を用いて三角関数を複素指数関数表示にすると便利である。 今回はオイラーの公式から三角関数の複素指数関数表示を求める。 虚数単位をとする。オイラーの公式 \begin{align} e^{j \omega t} = cos \ \omeg…

ゼータ関数 \begin{align} \zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s} \end{align} の数値計算はこのままで行うのは難しい。 このため数値計算を行う際にはEuler-Maclaurinの和公式がよくつかわれている。 区間において滑らかな関数に対して積分 を台…

適応制御の安定解析を行うため関数空間（ルベーグ空間）についてまとめる。 次元ユークリッド空間はルベーグ速度空間であり、集合はの可測集合であるとする。 上定義された可測関数について \begin{align} \int_{E} \left | f(x) \right|^p dx \end{align} …

be動詞は「～です」「～いる」「～ある」などの意味がある単語である。 例えば I am Tom. (私はトムです。) You are Kankichi.(あなたは勘吉です。) Kankichi is in Tokyo now. (勘吉は今、東京にいる。) My pen is on the desk.(私のペンは机の上にある。)i…

次のようなシステムを示す階斉次微分方程式 で示される入力出力系の伝達関数は次のようになる． \begin{align} G(s)=\frac{b_{m} s^{m} + \cdots + b_{1} s + b_{0} }{s^{n} + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_{1}s + a_{0}} \end{align} 分子の係数を最高位係…

英語には過去や未来現在といった時間的な関係を示す表現がある。このようなものを時制という。 例えば I play tennis. 現在：私はテニスをする。 I played tennis. 過去：私はテニスをした。 I will play tennis. 未来：私はテニスをするつもりです。 基本的…

開区間と閉区間の厳密な定義は置いておいて、これらを考えてみる。 開区間の例 \begin{align} (0,1) = \left\{ x| 0 \end{align} 閉区間の例 \begin{align} [0,1] = \left\{ x| 0 \le1 x \leq 1 \right\} \end{align} をそれぞれ定義する。 開区間と閉区間の…

関数について、区間内の任意の点に対して \begin{align} \lim_{n \to \infty} f_{n}(a) = f(a) \end{align} ならばはに各点収束するという。\begin{align} \lim_{n \to \infty} \sup_{x} \left| f_{n}(x) - f(x) \right | = 0 \end{align} ならばはに一様収…

ゼータ関数( ただし) \begin{align} \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s} \end{align} の収束性を考える。 \begin{align} \left | \frac{1}{n^s} \right | &= \dfrac{1}{\left | n^{\it{σ} + ti} \right |} \\ &= \dfrac{1}{\left | e^{\it{σ} \l…