適応制御のための数学１ - しろねこらぼ（旧）

適応制御の安定解析を行うため関数空間（ルベーグ空間） $\mathcal{L}^p$ についてまとめる。
$n$ 次元ユークリッド空間 $\mathbb{R}^n$ はルベーグ速度空間 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{M},\mu)$ であり、集合 $E$ は $\mathbb{R}^n$ の可測集合であるとする。
$E$ 上定義された可測関数 $f(x)$ について
\begin{align}
\int_{E} \left | f(x) \right|^p dx < \infty
\end{align}
が満たされるとき、 $f(x)$ は $p$ 乗可積分であるという。この時 $p$ 乗可積分な関数全体の作る実ベクトル空間を $\mathcal{L}^p=\mathcal{L}^p(E)$ と表す。

深入りすると関数解析の話になりそうなので、今回は数学的なことは後回しにして進もうと思う。