二次元平面上に置かれた二点間の距離は \begin{align} d(p_{1},p_{2})=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2} \end{align} で与えられる。カレントディレクトリに function d =distance(P1,P2) d=sqrt((P2(1,1)-P1(1,1))^2+P2(1,2)-P1(1,2)^2); end とした…

巡回セールスマン問題とは、あるセールスマンが複数の都市を訪れるとき、どのような順番で巡回すれば最も効果的（時間、移動距離、交通費等）かを解くグラフ理論の有名な問題の一つである。 この問題の難しい点は巡回する都市の数が多くなると計算量が爆発的…

集合に対し，部分集合の族が次の条件 \begin{align} S \in \mathcal{O} ,\phi \in \mathcal{O}\\ U_{1} , \cdots , U_{m} \in \mathcal{O} \Rightarrow \bigcap_{k=1}^{m} U_{k} \in \mathcal{O}\\ U_{\lambda} \in \mathcal{O} (\forall \lambda \in \Lambd…

正角形の内角の和は \begin{align} \pi (n-2) \end{align} より、一つの角は \begin{align} \frac{\pi (n-2)}{n} \end{align} となる。 ここで、正多角形をいくつか張り合わせ立体を作ることを考える。いくつか張り合わせ立体にするためには平面にならないよ…

の立方体で作られるルービックキューブの回転は、重複と逆回転を考えなければ \begin{align} 24n \end{align} となるが、最小の回転軸数は \begin{align} 3(n-1) \end{align}

浮体に働く浮力ベクトルとその大きさは \begin{align} B = mg \hspace{5mm} W = - \rho g V \end{align} で表すことができる。浮体座標系から見れば \begin{align} \boldsymbol{f}_{g}^{n} = {}^{t} \begin{pmatrix} 0 & 0 & B \end{pmatrix} \hspace{5mm} \…

回転行列について\begin{align} \begin{pmatrix} \cos \psi \cos \theta& \cos \psi \sin \phi \sin \theta - \cos \phi \sin \psi & \sin \phi \sin \psi + \cos \phi \cos \psi \sin \theta \\ \cos \theta \sin \psi& \cos \phi \cos \psi + \sin \phi \s…

クォータニオンは１つの実部と３つの要素を持つ虚部からなる。は \begin{align} \boldsymbol{\varepsilon}= {}^{t} \begin{pmatrix} \varepsilon_{1} & \varepsilon_{2} & \varepsilon_{3} \end{pmatrix} \end{align} である。ここで、は \begin{align} \bol…

中学生のころに学ぶ因数分解とは \begin{align} (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab \end{align} のように式を積の形で表す操作である。上の例ではが因数に当たる。このような式の段階では分かりづらいが、方程式が出現してからはその有用さは明らかである。 次のよう…

次のような二次遅れ系の伝達関数 \begin{align} G(s)=\dfrac{\omega_{n}^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_{n} s+ \omega_{n}^2} \end{align} について、不足振動となるの行き過ぎ量を考える。 この場合の応答は \begin{align} y(t)=1-\dfrac{e^{- \zeta \omega_{n} …

軸周りの回転を表す回転行列 \begin{align} \textbf{C}_{x}(\boldsymbol{η}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos \phi & \sin \phi \\ 0 & -\sin \phi & \cos \phi \end{pmatrix} \end{align}の固有値は \begin{align} \begin{vmatrix} t-1 & 0 & 0\\ 0…

空間に置かれた剛体の回転について考える。今、剛体の姿勢をを用いて \begin{align} \boldsymbol{η} = \begin{pmatrix} \phi \\ \theta \\ \psi \end{pmatrix} \end{align}と定義する。ここではRoll、Pitch、Yawそれぞれの角度を示している。剛体の回転は独…

はてなブログで数式を書く際、などについてはTeXのコマンドを使うことができないので\it{μ}などと記述する。しかしこの方法は \begin{align} \it{μ}^2 \end{align} となり、不具合が生じる。これはitコマンドが1993年にリリースされた LaTeX2e の New Font S…

ガンマ関数を次のように定義する。 \begin{align} \Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt \hspace{5mm} (ただし\Re(z) >0) \end{align}z=1の時 \begin{align} \Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-t}dt = 1 \end{align}z=2の時 \be…

三角関数をラプラス変換する際には、オイラーの公式を用いて三角関数を複素指数関数表示にすると便利である。 今回はオイラーの公式から三角関数の複素指数関数表示を求める。 虚数単位をとする。オイラーの公式 \begin{align} e^{j \omega t} = cos \ \omeg…

ゼータ関数 \begin{align} \zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s} \end{align} の数値計算はこのままで行うのは難しい。 このため数値計算を行う際にはEuler-Maclaurinの和公式がよくつかわれている。 区間において滑らかな関数に対して積分 を台…

開区間と閉区間の厳密な定義は置いておいて、これらを考えてみる。 開区間の例 \begin{align} (0,1) = \left\{ x| 0 \end{align} 閉区間の例 \begin{align} [0,1] = \left\{ x| 0 \le1 x \leq 1 \right\} \end{align} をそれぞれ定義する。 開区間と閉区間の…

関数について、区間内の任意の点に対して \begin{align} \lim_{n \to \infty} f_{n}(a) = f(a) \end{align} ならばはに各点収束するという。\begin{align} \lim_{n \to \infty} \sup_{x} \left| f_{n}(x) - f(x) \right | = 0 \end{align} ならばはに一様収…

ゼータ関数( ただし) \begin{align} \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s} \end{align} の収束性を考える。 \begin{align} \left | \frac{1}{n^s} \right | &= \dfrac{1}{\left | n^{\it{σ} + ti} \right |} \\ &= \dfrac{1}{\left | e^{\it{σ} \l…

ゼータ関数 \begin{align} \zeta (s) = \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s} \end{align} の零点を求めるためにはゼータ関数の特殊値をすべての値で求める必要がある。 例えばの時は \begin{align} \zeta (s) = \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}= 1+ \dfrac…

プラントへの入力を、出力をとして示された微分方程式が で与えられているとするとそのLaplace変換は となる。伝達関数をLaplace変換された複素関数の比 \begin{align} G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} \end{align} として定義すれば \begin{align} \frac{X(s)}{U(…

ゼータ関数の特異点はだけになりそうだ 一度きちんと証明をしなければ・・・

前回リーマンの示したゼータ関数に関する関数等式 \begin{align} \zeta (1 -s ) = \zeta(s) \cdot 2 (2 \pi)^{-s} \Gamma (s) \cos \left ( \dfrac{\pi s}{2} \right ) \end{align} 今回はを代入し関数等式がどうなるか調べる。 実際に代入すると \begin{ali…

リーマンの論文によれば、ゼータ関数をすべてのについて解析接続ができ、 \begin{align} \zeta (1 -s ) = \zeta(s) \cdot 2 (2 \pi)^{-s} \Gamma (s) \cos \left ( \dfrac{\pi s}{2} \right ) \end{align} しばらくはこの式を調べてみようと思う。

はてなブログでσを扱うとき、 [tex:\sigma] と書けば 正しく表示されるのに対して \begin{align} \sigma \end{align} とするとうまく表示されない問題がある。 この問題はσ以外にもηとτにも起こるようで \begin{align} \eta \hspace{5mm} \tau \end{align} …

これまでゼータ関数 \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s} \end{align} についてを \begin{align} s=x+iy \hspace{5mm} (x,y \in \mathbb{R}) \end{align} としていたがとすることの方が多いようだ。 この書き方はLandauが1903年に用いたことに…

ゼータ関数の特異点はとにあるという記事を見かけた。 よくよく考えてみればは \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}=\infty \end{align} であるがも \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} 1=\infty \end{align} となり発散する。前回の積分結果 \b…

ゼータ関数の特異点はにのみ存在し留数はとなる。 この結果が正しいとすると次のことが考えられる。適当な積分経路を定めゼータ関数を積分すると \begin{align} \int_{C} \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s} ds \end{align} ここでを特異点とすれば、留数定…

ゼータ関数について何もわからないので、とりあえず正則性についてまとめることにした。 ゼータ関数は調和級数となりうるとき、つまり \begin{align} \zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \end{align} を除き全平面で正則な関数となる。 ここで複素…

点電荷が作る電場は \begin{align} E=k \dfrac{q}{r^2} \end{align} で与えられる。ただしは単位系で決まる定数で、今回はSI単位系で計算するため \begin{align} k = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \end{align} で与えられる。 はそれぞれ真…