下図で示すようなシステムの伝達関数を考える。 まず、このシステムの伝達関数は \begin{align} W_{1}(s)=\dfrac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{align} で表すことができる。ここで次のような別のシステムについて考える。 \begin{align} W_{2}(s)=\dfrac{G_{1}(s)…

matlabでの伝達関数の定義は単純で、例えば次のような伝達関数 \begin{align} G(s)=\dfrac{1}{s^{2}+2s+3} \end{align} であれば Np = [0, 1] Dp = [1, 2, 3] P = tf(Np, Dp) とすればいい。 matlabのLisenceを所持していない場合、Python_Controlパッケージ…

前回、二次遅れ系の伝達関数 \begin{align} G(s)=\dfrac{K}{Ts+1} \end{align} を例に、ゲイン線図と位相線図からなるボード線図を作図する過程を示した。 これによれば、ゲイン線図は \begin{align} \left | G(j\omega) \right | = \dfrac{K\sqrt{1+T^{2}\o…

二次遅れ系の伝達関数 \begin{align} G(s)=\dfrac{K}{Ts+1} \end{align} を例に、ゲイン線図と位相線図からなるボード線図を作図する。 はじめにとしてフーリエ変換すると \begin{align} G(j \omega)&=\dfrac{K}{1 + j \omega T } \end{align} また、このシ…

ばねマスダンパ系の状態方程式を導出する。 まず、ばねマスダンパ系の運動方程式は \begin{align} M \ddot{x}(t) + C \dot{x}(t) + k x(t) = f(t) \end{align} ここでは質量、は減衰係数、はばね定数、は変位である。 はじめに \begin{align} x_{1}(t) = x(t…

フィードバック制御系において目標値が変化したり外乱が加わると制御量が変化する。制御量は出力とも呼ばれ、制御量と目標値の差は（制御）偏差と呼ばれる。 適切に設計されたフィードバック制御系であれば徐々に偏差は減少するが、定常状態となった後にも残…

前回二次遅れ系の伝達関数 \begin{align} G(s)=\dfrac{\omega_{n}^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_{n} s+ \omega_{n}^2} \end{align} についての行過ぎ量を求める式 \begin{align} f(t) = 1 - (-1)^n e^{ -\zeta \dfrac{n \pi }{\sqrt{1-\zeta^2}} } \hspace{5mm} …

次のような二次遅れ系の伝達関数 \begin{align} G(s)=\dfrac{\omega_{n}^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_{n} s+ \omega_{n}^2} \end{align} について、不足振動となるの行き過ぎ量を考える。 この場合の応答は \begin{align} y(t)=1-\dfrac{e^{- \zeta \omega_{n} …

時間関数について、の値をラプラス変換により得られた結果より直接求める場合最終値の定理を用いると便利である。 \begin{align} \int_{0}^{\infty} \dfrac{dx(t)}{dt} e^{-st} dt = sX(s) - x(0) \end{align} 左辺について次のような極限 \begin{align} \li…

時間関数について、の値をラプラス変換により得られた結果より直接求める場合初期値の定理を用いると便利である。 \begin{align} \int_{0}^{\infty} \dfrac{dx(t)}{dt} e^{-st} dt = sX(s) - x(0) \end{align} 両辺の極限をとって \begin{align} \lim_{s \to…

伝達関数 \begin{align} G(s)=\dfrac{K_{p} (s - \it {σ}_{1})(s - \it {σ}_{2}) \cdots (s - \it {σ}_{m})}{(s - \lambda_{1})(s - \lambda_{2}) \cdots (s - \lambda_{m})} \end{align} について、実部と虚部をとすると \begin{align} G(s)=M+jN \end{alig…

制御工学ではインパルス応答など呼び方は異なるが、デルタ関数を用いる機会が多い。デルタ関数とは \begin{align} \delta(s)=\begin{cases} \infty \hspace{3mm} &(x=0)\\ 0 &(x \neq 0) \end{cases} \end{align} で定義される超関数である。 ガウス分布は正…

次のような二次遅れ系の伝達関数 \begin{align} G(s)=\dfrac{\omega_{n}^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_{n} s+ \omega_{n}^2} \end{align} について、インパルス応答を調べる。 インパルス応答を入力したときの出力[tex;Y(s)]は \begin{align} Y(s)=\dfrac{\omega…

線形性とは、 \begin{align} f(x_{1}+x_{2}) &= f(x_{1})+f(x_{2})\\ f(ax_{1})&=af(x_{1}) \end{align} のような性質を満たす関数のことである。 ラプラス変換についてもこの線形性は成り立つ。 まず \begin{align} \mathcal{L} [ax_{1}(t) + bx_{2}(t)] \e…

次のような二次遅れ系 \begin{align} G(s)=\dfrac{R(s)}{C(s)}=\dfrac{\omega_{n}^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_{n} s+ \omega_{n}^2} \end{align} の共振角周波数と共振値を求める。 この系の伝達関数の周波数伝達関数は \begin{align} G(j \omega)=\dfrac{1}{1…

いま，伝達関数にステップ入力を加えたときの出力は \begin{align} Y(s) =\frac{N(s)}{D(s)} = \frac{K_{p} (s - \it{σ}_{1})(s - \it{σ}_{2}) \cdots (s - \it{σ}_{m})}{(s - \lambda_{1})(s - \lambda_{2}) \cdots (s - \lambda_{m})} \cdot \frac{1}{s} \…

ばねマスダンパ系の微分方程式 \begin{align} u(t)=my''(t) + cy'(t) + ky(t) \end{align} を考える。は加速度、は速度、は変位、は質量、は減衰係数、はバネ定数である。 ラプラス変換すれば \begin{align} U(s)&=ms^{2} Y(t) + csY(s) + kY(s)\\ &=\left (…

適応制御の安定解析を行うため関数空間（ルベーグ空間）についてまとめる。 次元ユークリッド空間はルベーグ速度空間であり、集合はの可測集合であるとする。 上定義された可測関数について \begin{align} \int_{E} \left | f(x) \right|^p dx \end{align} …

次のようなシステムを示す階斉次微分方程式 で示される入力出力系の伝達関数は次のようになる． \begin{align} G(s)=\frac{b_{m} s^{m} + \cdots + b_{1} s + b_{0} }{s^{n} + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_{1}s + a_{0}} \end{align} 分子の係数を最高位係…

プラントへの入力を、出力をとして示された微分方程式が で与えられているとするとそのLaplace変換は となる。伝達関数をLaplace変換された複素関数の比 \begin{align} G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} \end{align} として定義すれば \begin{align} \frac{X(s)}{U(…