ラプラス変換の線形性

線形性とは、
\begin{align}
f(x_{1}+x_{2}) &= f(x_{1})+f(x_{2})\\
f(ax_{1})&=af(x_{1})
\end{align}
のような性質を満たす関数のことである。
ラプラス変換についてもこの線形性は成り立つ。
まず
\begin{align}
\mathcal{L} [ax_{1}(t) + bx_{2}(t)]
\end{align}
を考えれば、
\begin{align}
\begin{split}
\mathcal{L} [ax_{1}(t) + bx_{2}(t)] &= \int_{0}^{\infty} \{ ax_{1}(t) + bx_{2}(t) \} e^{-st} dt \\
&= a \int_{0}^{\infty} x_{1}(t) e^{-st} dt + b \int_{0}^{\infty} x_{2}(t) e^{-st} dt \\
&= a \mathcal{L} [x_{1}(t)] + b \mathcal{L} [x_{2}(t)]
\end{split}
\end{align}
を得る。これよりラプラス変換は線形性の定義
\begin{align}
\mathcal{L}(x_{1}+x_{2}) &= \mathcal{L}(x_{1})+\mathcal{L}(x_{2})\\
\mathcal{L}(ax_{1})&=a\mathcal{L}(x_{1})
\end{align}
を満たしている。