ガンマ関数の定義と性質

ガンマ関数を次のように定義する。
\begin{align}
\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt \hspace{5mm} (ただし\Re(z) >0)
\end{align}

z=1の時
\begin{align}
\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-t}dt = 1
\end{align}

z=2の時
\begin{align}
\Gamma(2)=\displaystyle\int_0^{\infty} t e^{-t}dt = 1
\end{align}

z=3の時
\begin{align}
\Gamma(3)=\displaystyle\int_0^{\infty} t^2 e^{-t}dt = 1 \times 2 = 2
\end{align}

z=4の時
\begin{align}
\Gamma(4)=\displaystyle\int_0^{\infty} t^3 e^{-t}dt = 1 \times 2 \times 3 = 6
\end{align}

のとき
\begin{align}
\Gamma(n-1)=\displaystyle\int_0^{\infty} t^{n-2} e^{-t}dt = (n-2)!
\end{align}
が成り立つとすると
のとき
\begin{align}
\Gamma(n)=\displaystyle\int_0^{\infty} t^{n-1} e^{-t}dt = (n-1)!
\end{align}

より
\begin{align}
\Gamma(n+1)=n!
\end{align}
が成り立つ。