共振角周波数と共振値 - しろねこらぼ（旧）

次のような二次遅れ系
\begin{align}
G(s)=\dfrac{R(s)}{C(s)}=\dfrac{\omega_{n}^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_{n} s+ \omega_{n}^2}
\end{align}
の共振角周波数 $\omega_{p}$ と共振値 $M_{p}$ を求める。
この系の伝達関数の周波数伝達関数 $G(j \omega)$ は
\begin{align}
G(j \omega)=\dfrac{1}{1+j 2 \zeta \left( \dfrac{\omega}{\omega_{n}} \right) - \left( \dfrac{\omega}{\omega_{n}} \right)^2}
\end{align}
ゲイン $M$ は
\begin{align}
M=\left | G(j \omega) \right | =\dfrac{1}{\sqrt{ \left \{ 1- \left( \dfrac{\omega}{\omega_{n}} \right)^2 \right \}^2 + \left \{ 2 \zeta \left( \dfrac{\omega}{\omega_{n}} \right) \right \}^2 }}
\end{align}

ここで $\dfrac{\omega_{p}}{\omega_{n}}$ とすると

\begin{align}
M=\left | G(j \omega) \right | =\dfrac{1}{\sqrt{ \left \{ 1- u^2 \right \}^2 + \left ( 2 \zeta u \right )^2 }}
\end{align}

を得る。この関数のグラフは $\zeta$ を変化させ個々にプロットすれば

f:id:sironekoblog:20201116172501j:plain

となる。丸の点は各グラフの最大値になっている。
次にこのグラフの最大値を求める。最大値は
\begin{align}
\dfrac{dM}{du}= u^2 - 1 + 2 \zeta^2=0
\end{align}
より
\begin{align}
u= \sqrt{1 - 2 \zeta^{2}}
\end{align}
最大値の時の $u$ を $u_p$ とすれば
\begin{align}
u_{p}= \sqrt{1 - 2 \zeta^{2}}=\dfrac{\omega_{p}}{\omega_{n}}
\end{align}
この時の $\omega$ を共振角周波数といい $\omega_{p}$ と置けば
\begin{align}
\omega_{p}= \omega_{n} \sqrt{1 - 2 \zeta^{2}}
\end{align}
また、この周波数が存在するには
\begin{align}
1 - 2 \zeta^{2} >0
\end{align}
となる必要が有るため $\zeta$ は
\begin{align}
\zeta < \dfrac{1}{\sqrt{2}}
\end{align}
としなければならない。
共振値 $M_{p}$ は $u=u_{p}$ を代入して整理すれば
\begin{align}
M_{p} = \dfrac{1}{2 \zeta \sqrt{1 - \zeta^2}}
\end{align}
となる。