初期値の定理

時間関数について、の値をラプラス変換により得られた結果より直接求める場合初期値の定理を用いると便利である。
\begin{align}
\int_{0}^{\infty} \dfrac{dx(t)}{dt} e^{-st} dt = sX(s) - x(0)
\end{align}
両辺の極限をとって
\begin{align}
\lim_{s \to \infty} \int_{0}^{\infty} \dfrac{dx(t)}{dt} e^{-st} dt =\lim_{s \to \infty} \left \{ sX(s) - x(0) \right \}
\end{align}
ここで左辺は明らかに
\begin{align}
\lim_{s \to \infty} \int_{0}^{\infty} \dfrac{dx(t)}{dt} e^{-st} dt =0
\end{align}
より
\begin{align}
\lim_{s \to \infty} \left \{ sX(s) - x(0) \right \} = 0
\end{align}
これより
\begin{align}
\lim_{s \to \infty} sX(s) = \lim_{t \to 0} x(t)
\end{align}
を得る。この結果を初期値の定理という。