最終値の定理

時間関数について、の値をラプラス変換により得られた結果より直接求める場合最終値の定理を用いると便利である。
\begin{align}
\int_{0}^{\infty} \dfrac{dx(t)}{dt} e^{-st} dt = sX(s) - x(0)
\end{align}
左辺について次のような極限
\begin{align}
\lim_{s \to 0} \int_{0}^{\infty} \dfrac{dx(t)}{dt} e^{-st} dt = \int_{0}^{\infty} \dfrac{dx(t)}{dt} dt
\end{align}
これより
\begin{align}
\lim_{\textit{τ} \to \infty} \int_{0}^{\textit{τ}} \dfrac{dx(t)}{dt} dt = \lim_{\textit{τ}\to \infty} x(\textit{τ}) - x(0)
\end{align}
また、上式の左辺は
\begin{align}
\lim_{s \to 0} \int_{0}^{\infty} \dfrac{dx(t)}{dt} e^{-st} dt = \lim_{s \to 0} sX(s) - x(0)
\end{align}
これより比較すれば
\begin{align}
\lim_{s \to 0} sX(s) = \lim_{ t \to \infty} x(t)
\end{align}
を得る。この結果を最終値の定理という。