ガウス分布とデルタ関数

制御工学ではインパルス応答など呼び方は異なるが、デルタ関数を用いる機会が多い。デルタ関数とは
\begin{align}
\delta(s)=\begin{cases} \infty \hspace{3mm} &(x=0)\\ 0 &(x \neq 0) \end{cases}
\end{align}
で定義される超関数である。
ガウス分布は正規分布とも呼ばれ
\begin{align}
f(x)=\dfrac{1}{ \sqrt{2 \pi \it{σ}^2 }} \exp \left ( - \frac{\left ( x-\it{μ} \right )^2}{2 \it{σ}^2} \right )
\end{align}
定義される関数である。ガウス分布の面積は
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{ \sqrt{2 \pi \it{σ}^2 }} \exp \left ( - \frac{\left ( x-\it{μ} \right )^2}{2 \it{σ}^2} \right ) dx= 1
\end{align}
となる。
は平均と呼ばれ、数値を変化させると山の中央が左右に移動する。

は分散と呼ばれ、数値を変化させるとグラフの鋭さが変化する。

特にのとき標準正規分布という。この時ガウス分布は
\begin{align}
f(x)=\dfrac{1}{ \sqrt{2 \pi }} \exp \left ( - \frac{ x^2}{2 } \right )
\end{align}

となる。

ガウス分布のについて次のような極限
\begin{align}
f(x)= \lim_{ \it{μ} \to \mathrm{0}} \dfrac{1}{ \sqrt{2 \pi \it{σ}^2 }} \exp \left ( - \frac{\left ( x-\it{μ} \right )^2}{2 \it{σ}^2} \right )
\end{align}
を考える。を大きくしていくにしたがってグラフは

となり
\begin{align}
\delta(s)=\begin{cases} \infty \hspace{3mm} &(x=0)\\ 0 &(x \neq 0) \end{cases}
\end{align}
に近づいていく。