ゼータ関数の収束性 - しろねこらぼ（旧）

ゼータ関数 $\zeta(s)$ ( ただし $s=\it{σ} + ti (\it σ,t \in \mathbb{R})$ )
\begin{align}
\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s}
\end{align}
の収束性を考える。
\begin{align}
\left | \frac{1}{n^s} \right | &= \dfrac{1}{\left | n^{\it{σ} + ti} \right |} \\
&= \dfrac{1}{\left | e^{\it{σ} \log n} e^{ti \log n} \right |}\\
&= \dfrac{1}{e^{\it{σ}} }\\
&= \dfrac{1}{ n^{\it{σ}}}
\end{align}
ここで $k\in \mathbb{R}$ を $σ \geq k > 1$ とすると
\begin{align}
\left | \dfrac{1}{n^{s}} \right | = \dfrac{1}{n^{ \it{σ} }} \leq \dfrac{1}{n^{k}}
\end{align}
このとき
\begin{align}
\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{k}}
\end{align}
は収束するのでWeisrstrassのM判定法を用いれば
\begin{align}
\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{s}}
\end{align}
は $σ \geq k > 1$ で一様収束する。