ゼータ関数を手計算するために

ゼータ関数
\begin{align}
\zeta (s) = \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s}
\end{align}
の零点を求めるためにはゼータ関数の特殊値をすべての値で求める必要がある。
例えばの時は
\begin{align}
\zeta (s) = \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}= 1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+\cdots
\end{align}
となる。が実数の時はこのように計算は単純になる。
が複素数の時は少々複雑になる。
がの時
\begin{align}
\zeta (s) = \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{\it{σ} + ti}}
\end{align}
ここで
\begin{align}
\dfrac{1}{n^{\it{σ} + ti}}&=n^{ - \it{σ} - ti}\\
&=n^{ - \it{σ}} n^{ - ti}\\
&=n^{ - \it{σ}} e^{ - t i \log n }\\
&=n^{ - \it{σ}} \left ( \cos (t \log n) - i \sin (t \log n) \right )\\
\end{align}
これを頑張って計算すればいい。