ゼータ関数 \begin{align} \zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s} \end{align} の数値計算はこのままで行うのは難しい。 このため数値計算を行う際にはEuler-Maclaurinの和公式がよくつかわれている。 区間において滑らかな関数に対して積分 を台…

ゼータ関数( ただし) \begin{align} \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s} \end{align} の収束性を考える。 \begin{align} \left | \frac{1}{n^s} \right | &= \dfrac{1}{\left | n^{\it{σ} + ti} \right |} \\ &= \dfrac{1}{\left | e^{\it{σ} \l…

ゼータ関数 \begin{align} \zeta (s) = \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s} \end{align} の零点を求めるためにはゼータ関数の特殊値をすべての値で求める必要がある。 例えばの時は \begin{align} \zeta (s) = \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}= 1+ \dfrac…

ゼータ関数の特異点はだけになりそうだ 一度きちんと証明をしなければ・・・

前回リーマンの示したゼータ関数に関する関数等式 \begin{align} \zeta (1 -s ) = \zeta(s) \cdot 2 (2 \pi)^{-s} \Gamma (s) \cos \left ( \dfrac{\pi s}{2} \right ) \end{align} 今回はを代入し関数等式がどうなるか調べる。 実際に代入すると \begin{ali…

リーマンの論文によれば、ゼータ関数をすべてのについて解析接続ができ、 \begin{align} \zeta (1 -s ) = \zeta(s) \cdot 2 (2 \pi)^{-s} \Gamma (s) \cos \left ( \dfrac{\pi s}{2} \right ) \end{align} しばらくはこの式を調べてみようと思う。

これまでゼータ関数 \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s} \end{align} についてを \begin{align} s=x+iy \hspace{5mm} (x,y \in \mathbb{R}) \end{align} としていたがとすることの方が多いようだ。 この書き方はLandauが1903年に用いたことに…

ゼータ関数の特異点はとにあるという記事を見かけた。 よくよく考えてみればは \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}=\infty \end{align} であるがも \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} 1=\infty \end{align} となり発散する。前回の積分結果 \b…

ゼータ関数の特異点はにのみ存在し留数はとなる。 この結果が正しいとすると次のことが考えられる。適当な積分経路を定めゼータ関数を積分すると \begin{align} \int_{C} \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s} ds \end{align} ここでを特異点とすれば、留数定…

ゼータ関数について何もわからないので、とりあえず正則性についてまとめることにした。 ゼータ関数は調和級数となりうるとき、つまり \begin{align} \zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \end{align} を除き全平面で正則な関数となる。 ここで複素…

ゼータ関数 \begin{align} \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s} =\dfrac{1}{1^s}+\dfrac{1}{2^s}+\dfrac{1}{3^s}+\dfrac{1}{4^s} + \cdots \end{align} のに整数を代入して得られる値をゼータ関数の特殊値あるいはゼータ定数と呼ぶらしい。 今回…

クレイ数学研究所から懸賞金がかけられているリーマン予想とはどういうものなのか。 そもそもリーマン予想はリーマンによって予想が発表される以前にオイラーによって研究された無限級数 を研究した。（級数にを用いるのはリーマンからだが本ブログではを用…