リーマン予想って？ - しろねこらぼ（旧）

クレイ数学研究所から懸賞金がかけられているリーマン予想とはどういうものなのか。
そもそもリーマン予想はリーマンによって予想が発表される以前にオイラーによって研究された無限級数

$\zeta(s) = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s} = \dfrac{1}{1^s} + \dfrac{1}{2^s} + \dfrac{1}{3^s} + \cdots \tag{1}$
を研究した。（級数に $\zeta$ を用いるのはリーマンからだが本ブログでは $\zeta$ を用いて表現する）
$s=1$ の時は調和級数となり
$\zeta(1) = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} =1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots \tag{2}$
調和級数は発散するので
$\zeta(1) = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} = \infty \tag{3}$

オイラーはゼータ関数に関して
$\zeta(s) = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s}= \displaystyle \prod_{p:prime} \dfrac{1}{1 - p^{-1}} \tag{4}$
という積表示を与えた。オイラーの時代には複素関数論は存在しなかったためオイラーは実数や整数についてのみ注目し研究した。