調和級数が発散することについて

ゼータ関数
\begin{align}
\zeta(s) =1 + \dfrac{1}{2^s}+\dfrac{1}{3^s}+ \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s}
\end{align}
がの時
\begin{align}
\zeta(1) = 1 + \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+ \cdots = \infty
\end{align}
となり発散する．この無限級数は調和級数とよばれる。

調和級数が無限に発散することの証明はいくつかあるが、有名なものは次がある。
調和級数について第四項
\begin{align}
\displaystyle \sum_{n=1}^{4} \dfrac{1}{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}
\end{align}
について考えると明らかに
\begin{align}
\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{2}
\end{align}
同様にして
\begin{align}
\displaystyle \sum_{n=1}^{8} \dfrac{1}{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} +\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{8}
\end{align}
について考えると明らかに
\begin{align}
\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{8} > \dfrac{1}{2}
\end{align}
これが無限に存在するのでに置き換えれば
\begin{align}
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} > 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \cdots
\end{align}
ここで右辺は
\begin{align}
1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \cdots = \infty
\end{align}
左辺右辺より
\begin{align}
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} = \infty
\end{align}