ゼータ関数ζ(-1)を考える

前回リーマンの示したゼータ関数に関する関数等式
\begin{align}
\zeta (1 -s ) = \zeta(s) \cdot 2 (2 \pi)^{-s} \Gamma (s) \cos \left ( \dfrac{\pi s}{2} \right )
\end{align}
今回はを代入し関数等式がどうなるか調べる。
実際に代入すると
\begin{align}
\zeta (-1 ) &= \zeta(2) \cdot 2 (2 \pi)^{-2} \Gamma (2) \cos \left ( \dfrac{2 \pi}{2} \right ) \\
& = \zeta(2) \cdot 2 (2 \pi)^{-2} \Gamma (2) \cos \pi \\
& = - \zeta(2) \cdot \dfrac{1}{2 \pi^{2}}
\end{align}
ここでであるから
\begin{align}
\zeta(-1) &= - \dfrac{\pi^2}{6} \cdot \dfrac{1}{2 \pi^{2}} \\
&= - \dfrac{1}{12}
\end{align}

よって
\begin{align}
\zeta (-1 ) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s}
\end{align}
においては
\begin{align}
\zeta (-1 ) = \sum_{n=1}^{\infty} n=1+2+3 \cdots = \infty
\end{align}
となる。しかし上の結果から発散する級数に対して
\begin{align}
\zeta (-1 ) = \sum_{n=1}^{\infty} n=1+2+3 \cdots = -\dfrac{1}{12}
\end{align}
と値を与えることができるようになる。
これがどういう意味を持つのだろうか・・・