三角関数の複素指数関数表示

三角関数をラプラス変換する際には、オイラーの公式を用いて三角関数を複素指数関数表示にすると便利である。
今回はオイラーの公式から三角関数の複素指数関数表示を求める。

虚数単位をとする。

オイラーの公式
\begin{align}
e^{j \omega t} = cos \ \omega t + j \sin \ \omega t
\end{align}
を用いると三角関数を複素指数関数で表すことができるようになる。

については
\begin{align}
e^{j \omega t} &= cos \ \omega t + j \sin \ \omega t \\
e^{- j \omega t} &= cos \left ( -\omega t \right) + j \sin\left ( -\omega t \right)
\end{align}
差をとれば
\begin{align}
e^{j \omega t} - e^{-j \omega t} &= j 2 \sin \ \omega t \\
\end{align}
より
\begin{align}
\sin \ \omega t = \dfrac{e^{j \omega t} - e^{-j \omega t} }{j2}
\end{align}

同様にについては
\begin{align}
e^{j \omega t} &= cos \ \omega t + j \sin \ \omega t \\
e^{- j \omega t} &= cos \left ( -\omega t \right) + j \sin\left ( -\omega t \right)
\end{align}
和をとれば
\begin{align}
e^{j \omega t} + e^{-j \omega t} &= 2 \cos \ \omega t \\
\end{align}
より
\begin{align}
\cos \ \omega t = \dfrac{e^{j \omega t} + e^{-j \omega t} }{2}
\end{align}