ゼータ関数の留数と極の位数について

ゼータ関数について何もわからないので、とりあえず正則性についてまとめることにした。
ゼータ関数は調和級数となりうる $s=1$ とき、つまり
\begin{align}
\zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
\end{align}
を除き全平面で正則な関数となる。
ここで複素解析における正則な関数とは、ガウス平面 $\mathbb{C}$ 内の開集合 $D$ と $D$ 上で定義される複素関数 $f(z)$ について、 $a \in D$ に対し極限
\begin{align}
\lim_{s \to a} \frac{f(s)-f(a)}{s-a}
\end{align}
が定まるとき、複素関数 $f(s)$ は点 $s=a$ において微分可能という。
複素関数 $f(s)$ が $D$ 内のすべての点で微分可能であるとき、 $f(s)$ は $D$ において正則であるといい、 $f(s)$ は $D$ 上の正則関数という。
調和級数であるときは
\begin{align}
\zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty
\end{align}
となるため、微分不可能となりこの点では正則ではなくなる。