伝達関数を定義する - しろねこらぼ（旧）

プラントへの入力を $x(t)$ 、出力を $y(t)$ として示された微分方程式が
$\begin{align} \dfrac{d^n}{dt^n} y(t) &+ a_{n-1} \dfrac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t) + \cdots + a_{1} \dfrac{d}{dt} y(t) + a_{0} y(t)\\ &=b_{m} \dfrac{d^m}{dt^m} u(t) + b_{m-1} \dfrac{d^{m-1}}{dt^{m-1}} u(t) + \cdots + b_{1} \dfrac{d}{dt} u(t) + b_{0} u(t) \end{align}$
で与えられているとするとそのLaplace変換は
$\begin{align} Y(s) s^{n} + a_{n-1} Y(s) &s^{n-1} \cdots a_{1} Y(s) s + a_{0} Y(s) \\ &=b_{m} U(s) s^{m} + b_{m-1} U(s) s^{m-1} \cdots b_{1} U(s) s + b_{0} U(s) \end{align}$
となる。伝達関数 $G(s)$ をLaplace変換された複素関数 $X(s),Y(s)$ の比
\begin{align}
G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}
\end{align}
として定義すれば
\begin{align}
\frac{X(s)}{U(s)} = \frac{s^{n} + b_{1} s^{n-1} \cdots b_{n-1} s + b_{n}}{a_{n} s^{n} + a_{1} s^{n-1} \cdots a_{n-1} s + a_{n} }
\end{align}