ゼータ関数の複素積分

ゼータ関数の特異点はにのみ存在し留数はとなる。
この結果が正しいとすると次のことが考えられる。

適当な積分経路を定めゼータ関数を積分すると
\begin{align}
\int_{C} \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s} ds
\end{align}
ここでを特異点とすれば、留数定理
\begin{align}
\int_{C} f(s) ds = 2 \pi i \left [ \sum_{n=1}^{N} \mathrm{Res(s_{n})} \right ]
\end{align}
より
\begin{align}
\int_{C} \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s} ds = 2 \pi i
\end{align}
となる。

素数の積分結果に円周率が出てくるのはすごい。
何かに使えないだろうか。