プラントの極と零点 - しろねこらぼ（旧）

次のようなシステムを示す $n$ 階斉次微分方程式
$\begin{align} \dfrac{d^n}{dt^n} y(t) &+ a_{n-1} \dfrac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t) + \cdots + a_{1} \dfrac{d}{dt} y(t) + a_{0} y(t) \\ &=b_m \dfrac{d^{m}}{dt^{m}} u(t) + b_{m-1} \dfrac{d^{m-1}}{dt^{m-1}} u(t) + \cdots + b_{1} \dfrac{d}{dt} u(t) + b_{0} u(t) \end{align} \tag{1}$
で示される $1$ 入力 $1$ 出力系の伝達関数は次のようになる．
\begin{align}
G(s)=\frac{b_{m} s^{m} + \cdots + b_{1} s + b_{0} }{s^{n} + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_{1}s + a_{0}}
\end{align}
分子 $N(s)$ の係数 $b_{m}$ を最高位係数または高周波ゲインという。
(1)をを因数分解すると
\begin{align}
G(s)=\dfrac{K_{p} (s - \it {σ}_{1})(s - \it {σ}_{2}) \cdots (s - \it {σ}_{m})}{(s - \lambda_{1})(s - \lambda_{2}) \cdots (s - \lambda_{m})}
\end{align}
となる。 $K_{p}$ をゲインという。
伝達関数は $s$ に関する有理関数で、因数分解の結果から分かるように分子多項式 $N(s)$ と分母多項式 $D(s)$ の比で表すことができる。
因数分解の結果から明らかであるが分子多項式 $N(s)$ と分母多項式 $D(s)$ は
\begin{align}
\begin{split}
N(s) &= K_{p} (s - \it {σ}_{1})(s - \it {σ}_{2}) \cdots (s - \it {σ}_{m})\\
D(s) &= (s - \lambda_{1})(s - \lambda_{2}) \cdots (s - \lambda_{m})
\end{split}
\end{align}
となる。 $N(s)=0$ の根を零点、 $D(s)=0$ の根を極という。
プラントの応答は極によって決まり、実部が負の場合は応答が減衰し、正の場合は応答が発散する。