極と安定性

いま，伝達関数にステップ入力を加えたときの出力は
\begin{align}
Y(s) =\frac{N(s)}{D(s)} = \frac{K_{p} (s - \it{σ}_{1})(s - \it{σ}_{2}) \cdots (s - \it{σ}_{m})}{(s - \lambda_{1})(s - \lambda_{2}) \cdots (s - \lambda_{m})} \cdot \frac{1}{s}
\end{align}
これを部分分数分解すれば
\begin{align}
Y(s) = \frac{a_{0}}{s} + \frac{a_{1}}{s-\lambda_{1}} + \frac{a_{2}}{s-\lambda_{2}} + \cdots + \frac{a_{m}}{s-\lambda_{m}}
\end{align}
を得る。ここで、は部分分数分解により決まる定数である。
システムへのステップ応答は逆ラプラス変換をすることで求まり
\begin{align}
Y(t) = a_{0} + a_{1}e^{\lambda_{1}t} + a_{2}e^{\lambda_{2}t} + \cdots + a_{m} e^{\lambda_{m}t}
\end{align}
ここでより
\begin{align}
e^{p_{i}t} = e^{\it{σ}_{i} t} \left ( \cos \omega_{i} t + j \sin \omega_{i} t \right )
\end{align}
したがって極の実部が負であれば、システムは時間の経過とともにに収束する。