ばねマスダンパ系の状態方程式

ばねマスダンパ系の状態方程式を導出する。
まず、ばねマスダンパ系の運動方程式は
\begin{align}
M \ddot{x}(t) + C \dot{x}(t) + k x(t) = f(t)
\end{align}
ここでは質量、は減衰係数、はばね定数、は変位である。
はじめに
\begin{align}
x_{1}(t) = x(t) \hspace{5mm} x_{2}(t) = \dot{x}_{1} (t)
\end{align}
とおくと
\begin{align}
\begin{cases}
\dot{x}_{1}(t) = x_{2} (t)\\
\dot{x}_{2}(t) = -C x_{2} -k x_{1} = f
\end{cases}
\end{align}
行列では
\begin{align}
\begin{bmatrix}
\dot{x}_{1}(t)\\
\dot{x}_{2}(t)
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-C & -k
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}(t)\\
x_{2}(t)
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0\\ 1
\end{bmatrix}f
\end{align}
と表すことができる。ここで行列を
\begin{align}
\boldsymbol{x}=
\begin{bmatrix}
x_{1}(t)\\
x_{2}(t)
\end{bmatrix} \hspace{5mm}
\boldsymbol{A}=
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-C & -k
\end{bmatrix}\hspace{5mm}
\boldsymbol{B}=
\begin{bmatrix}
0\\ 1
\end{bmatrix}
\end{align}
とおけば
\begin{align}
\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} + \boldsymbol{B} f
\end{align}
を得る。この式を状態方程式という。
観測できる量をとすれば
\begin{align}
y=
\begin{bmatrix}
1 &0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}\\
x_{2}
\end{bmatrix}
\end{align}
同様に行列を置き換えれば
\begin{align}
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{x}
\end{align}
を得る。この式を出力方程式という。