クォータニオンを定義する

クォータニオンは１つの実部と３つの要素を持つ虚部からなる。は
\begin{align}
\boldsymbol{\varepsilon}= {}^{t}
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{1} & \varepsilon_{2} & \varepsilon_{3}
\end{pmatrix}
\end{align}
である。ここで、は
\begin{align}
\boldsymbol{q} {}^{t} \boldsymbol{q} = 1
\end{align}
を満たしている。これを考慮して単位クォータニオンを定義すれば
\begin{align}
Q=\{ \boldsymbol{q} | \boldsymbol{q} {}^{t} \boldsymbol{q} = 1 , \boldsymbol{q} = {}^{t} ( \textit{η} \ {}^{t} \boldsymbol{\varepsilon} ) , \textit{η} \in \mathbb{R} \land \ \boldsymbol{\varepsilon} \in \mathbb{R}^3 \}
\end{align}
流儀により多少異なる定義になる場合があるが、その場合であってもクォータニオンの持つ性質に影響はない。
ここではそれぞれ

\begin{align}
\boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{\lambda} \sin \frac{\delta}{2} \hspace{10mm} \textit{η}= \cos \frac{\delta}{2}
\end{align}

であるからは

\begin{align}
\boldsymbol{q}= \textit{η}+ \varepsilon_{1} \boldsymbol{i} + \varepsilon_{2} \boldsymbol{j} + \varepsilon_{3} \boldsymbol{k} =\cos \frac{\delta}{2} + \sin \frac{\delta}{2} \boldsymbol{i} + \sin \frac{\delta}{2} \boldsymbol{j} + \sin \frac{\delta}{2} \boldsymbol{k}
\end{align}
となる。

次回以降、クォータニオンと回転行列の関係などを調べていく