回転行列の固有値と固有ベクトル

軸周りの回転を表す回転行列

\begin{align} \textbf{C}_{x}(\boldsymbol{η}) =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \cos \phi & \sin \phi \\
0 & -\sin \phi & \cos \phi
\end{pmatrix}
\end{align}

の固有値は

\begin{align}
\begin{vmatrix}
t-1 & 0 & 0\\
0 & t-\cos \phi & -\sin \phi \\
0 & \sin \phi & t-\cos \phi
\end{vmatrix}=0
\end{align}

より
\begin{align}
(t-1)(t^2-2 \cos \theta t +1) = 0
\end{align}
実数の固有値はとなる。
のとき
\begin{align}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 1-\cos \phi & -\sin \phi \\
0 & \sin \phi & 1-\cos \phi
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix} = 0
\end{align}
より、これを満たすベクトルは
\begin{align}
(x,y,z)=(1,0,0)
\end{align}
となり回転軸と等しくなる。

RLC直列回路の共振周波数

直列回路の共振周波数を求める。直列回路のインピーダンスは
\begin{align}
Z=R+j \left ( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right )
\end{align}
共振の条件は= 0]より
\begin{align}
\omega L - \frac{1}{\omega C} & = 0\\
\omega^2 L C &= 1
\end{align}
より
\begin{align}
f=\frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}
\end{align}
となる。このときの周波数をと表し、共振周波数という。

最終値の定理

時間関数について、の値をラプラス変換により得られた結果より直接求める場合最終値の定理を用いると便利である。
\begin{align}
\int_{0}^{\infty} \dfrac{dx(t)}{dt} e^{-st} dt = sX(s) - x(0)
\end{align}
左辺について次のような極限
\begin{align}
\lim_{s \to 0} \int_{0}^{\infty} \dfrac{dx(t)}{dt} e^{-st} dt = \int_{0}^{\infty} \dfrac{dx(t)}{dt} dt
\end{align}
これより
\begin{align}
\lim_{\textit{τ} \to \infty} \int_{0}^{\textit{τ}} \dfrac{dx(t)}{dt} dt = \lim_{\textit{τ}\to \infty} x(\textit{τ}) - x(0)
\end{align}
また、上式の左辺は
\begin{align}
\lim_{s \to 0} \int_{0}^{\infty} \dfrac{dx(t)}{dt} e^{-st} dt = \lim_{s \to 0} sX(s) - x(0)
\end{align}
これより比較すれば
\begin{align}
\lim_{s \to 0} sX(s) = \lim_{ t \to \infty} x(t)
\end{align}
を得る。この結果を最終値の定理という。

初期値の定理

時間関数について、の値をラプラス変換により得られた結果より直接求める場合初期値の定理を用いると便利である。
\begin{align}
\int_{0}^{\infty} \dfrac{dx(t)}{dt} e^{-st} dt = sX(s) - x(0)
\end{align}
両辺の極限をとって
\begin{align}
\lim_{s \to \infty} \int_{0}^{\infty} \dfrac{dx(t)}{dt} e^{-st} dt =\lim_{s \to \infty} \left \{ sX(s) - x(0) \right \}
\end{align}
ここで左辺は明らかに
\begin{align}
\lim_{s \to \infty} \int_{0}^{\infty} \dfrac{dx(t)}{dt} e^{-st} dt =0
\end{align}
より
\begin{align}
\lim_{s \to \infty} \left \{ sX(s) - x(0) \right \} = 0
\end{align}
これより
\begin{align}
\lim_{s \to \infty} sX(s) = \lim_{t \to 0} x(t)
\end{align}
を得る。この結果を初期値の定理という。

オイラー角を用いた回転表現

空間に置かれた剛体の回転について考える。今、剛体の姿勢をを用いて

\begin{align} \boldsymbol{η} = \begin{pmatrix} \phi \\ \theta \\ \psi \end{pmatrix} \end{align}

と定義する。ここではRoll、Pitch、Yawそれぞれの角度を示している。

剛体の回転は独立した各軸の回転の組み合わせによって表される。３次元ユークリッド空間内に剛体がある場合３軸の組み合わせになる。このような回転の表し方をオイラー角という。
はじめに軸における回転

\begin{align} \textbf{C}_{x}(\boldsymbol{η}) =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\ 0 & \cos \phi &
- \sin \phi \\ 0 & \sin \phi &
\cos \phi \end{pmatrix}
\end{align}

その他の軸回りの回転も同様に

\begin{align}
\textbf{C}_{y}(\boldsymbol{η}) =
\begin{pmatrix}
\cos \theta & 0 & \sin \theta \\
0 & 1 & 0\\
-\sin \theta & 0 & \cos \theta
\end{pmatrix} \hspace{10mm} \textbf{C}_{z}(\boldsymbol{η}) =
\begin{pmatrix}
\cos \psi & -\sin \psi & 0 \\
\sin \psi & \cos \psi & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}

で表される。このときは特殊直行群である。
が特殊直交群であるとは
\begin{align}
\mathrm{SO}(3)=\left \{ \textbf{R} \in \mathbb{R}^{3 \times 3} | \det \textbf{R}=1 , {}^{t} \textbf{R} \textbf{R} = \textbf{E} \right \}
\end{align}
で示される。回転行列より
\begin{align}
\textbf{C} {}^{t} \textbf{C}={}^{t} \textbf{C} \textbf{C}=\textbf{I} \hspace{10mm} \det \textbf{C}=1
\end{align}
は対角行列でもあるので
\begin{align}
\textbf{C}^{-1} = {}^{t} \textbf{C}
\end{align}
を満足する。
オイラー角は回転の順序に制限がないため、３次元空間内の剛体の回転に関して１２通りの表示が得られる。ここでは
\begin{align}
\textbf{R} \left ( \boldsymbol{η} \right ) = \textbf{C}_{z}(\boldsymbol{η}) \textbf{C}_{y}(\boldsymbol{η}) \textbf{C}_{x}(\boldsymbol{η}) \in \mathbb{R}^{3 \times 3}
\end{align}
とする。これを計算すれば

\begin{align} \textbf{R} \left ( \boldsymbol{η} \right ) =
\begin{pmatrix} \cos \psi \cos \theta & \cos \psi \sin \phi \sin \theta - \cos \phi \sin \psi & \sin \phi \sin \psi + \cos \phi \cos \psi \sin \theta \\ \cos \theta \sin \psi & \cos \phi \cos \psi + \sin \phi \sin \psi \sin \theta & \cos \phi \sin \psi \sin \theta - \cos \psi \sin \phi \\ -\sin \theta & \cos \theta \sin \phi & \cos \phi \cos \theta \end{pmatrix} \end{align}

を得る。逆行列は転地行列で与えられるから

\begin{align} \textbf{R}^{-1} \left ( \boldsymbol{η} \right ) \begin{pmatrix} \cos \theta \cos \psi & \cos \theta \sin \psi & -\sin \theta \\ \sin \phi \sin \theta \cos \psi - \cos \phi \sin \psi & \sin \phi \sin \theta \sin \psi + \cos \phi \cos \psi & \sin \phi \cos \theta \\ \cos \phi \sin \theta \cos \psi + \sin \phi \sin \psi & \cos \phi \sin \theta \sin \psi - \sin \phi \cos \psi & \cos \phi \cos \theta \end{pmatrix} \end{align}

となる。

itコマンドによる斜体指示の問題点と解決策

はてなブログで数式を書く際、などについてはTeXのコマンドを使うことができないので

\it{μ}

などと記述する。しかしこの方法は
\begin{align}
\it{μ}^2
\end{align}
となり、不具合が生じる。これはitコマンドが1993年にリリースされた LaTeX2e の New Font Scheme Selection (NFSS) release 2 をサポートしていないために起こると思われる。このitコマンドは以前の設定を上書きする性質があるようで、一度用いると以後すべてがイタリックになってしまう。これは他の非推奨コマンドも同様である。
この問題を回避するには
\begin{align}
\textit{μ}^2
\end{align}
とすればいい。

正実性と強正実性

伝達関数
\begin{align}
G(s)=\dfrac{K_{p} (s - \it {σ}_{1})(s - \it {σ}_{2}) \cdots (s - \it {σ}_{m})}{(s - \lambda_{1})(s - \lambda_{2}) \cdots (s - \lambda_{m})}
\end{align}
について、実部と虚部をとすると
\begin{align}
G(s)=M+jN
\end{align}
となる。このとき
\begin{align}
\mathrm{Re} G(s) \geq 0
\end{align}
となれば伝達関数は正実(positive real, PR)でであるという。
例えば
\begin{align}
G(s)=\dfrac{1}{s+1}
\end{align}
はとすれば
\begin{align}
G(s)=\dfrac{1+\it{σ}}　{(1+\it{σ})^\mathrm{2}+\omega^\mathrm{2}} - \dfrac{\omega} {(1+\it{σ})^\mathrm{2}+\omega^\mathrm{2}}
\end{align}
よりSRである。

また、ある整数が存在してがSRであるならば強誠実(strictly positive real, SPR)という。
SSRが動画を調べる方法は上記のSRを調べる方法と同様にすればいい。

ガウス分布とデルタ関数

制御工学ではインパルス応答など呼び方は異なるが、デルタ関数を用いる機会が多い。デルタ関数とは
\begin{align}
\delta(s)=\begin{cases} \infty \hspace{3mm} &(x=0)\\ 0 &(x \neq 0) \end{cases}
\end{align}
で定義される超関数である。
ガウス分布は正規分布とも呼ばれ
\begin{align}
f(x)=\dfrac{1}{ \sqrt{2 \pi \it{σ}^2 }} \exp \left ( - \frac{\left ( x-\it{μ} \right )^2}{2 \it{σ}^2} \right )
\end{align}
定義される関数である。ガウス分布の面積は
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{ \sqrt{2 \pi \it{σ}^2 }} \exp \left ( - \frac{\left ( x-\it{μ} \right )^2}{2 \it{σ}^2} \right ) dx= 1
\end{align}
となる。
は平均と呼ばれ、数値を変化させると山の中央が左右に移動する。

は分散と呼ばれ、数値を変化させるとグラフの鋭さが変化する。

特にのとき標準正規分布という。この時ガウス分布は
\begin{align}
f(x)=\dfrac{1}{ \sqrt{2 \pi }} \exp \left ( - \frac{ x^2}{2 } \right )
\end{align}

となる。

ガウス分布のについて次のような極限
\begin{align}
f(x)= \lim_{ \it{μ} \to \mathrm{0}} \dfrac{1}{ \sqrt{2 \pi \it{σ}^2 }} \exp \left ( - \frac{\left ( x-\it{μ} \right )^2}{2 \it{σ}^2} \right )
\end{align}
を考える。を大きくしていくにしたがってグラフは

となり
\begin{align}
\delta(s)=\begin{cases} \infty \hspace{3mm} &(x=0)\\ 0 &(x \neq 0) \end{cases}
\end{align}
に近づいていく。